2

1. В древнем Вавилоне использовали для счета систему с 60-ричным основанием. Вместо того, чтобы остановиться на 9 и перейти к следующему разряду, они делали остановку на 59. Остатки этой системы сохраняются и в наше время; например, 60 минут в часе, 360 градусов в окружности.
2. Древние греки полагали, что все числа рациональны, до тех пор, пока один из последователей Пифагора не доказал, что √2 не является рациональным числом. Является ли число рациональным или иррациональным можно определить по его записи: если начиная с некоторого места после запятой повторяется последовательность цифр, то число рационально (например, 3/11 = 0,272727...). Десятичные дроби, выражающие иррациональные числа (например, п = 3,14159265...) непериодичны.
3. Имеется последовательность: (1 1), (1 2 1), (1 3 3 1), (1 4 6 4 1). Каким будет следующий член данной последовательности? Эта загадка является важнейшей задачей в алгебре, известной как раскрытие скобок для выражения (a+b) в степени. Идея Паскаля заключалась в том, что треугольник может быть продолжен путем сложения каждой пары чисел каждого ряда, расположенного выше. Каждый ряд треугольника Паскаля дает ответ на задачу раскрытия скобок.

Рисунок 1 - Треугольник Паскаля
4. Логарифм можно использовать для приблизительного подсчета количества лет для накопления какой-то определенной суммы. В примере с банком, где сумма на счете удваивается каждый год, результат логарифма говорит, сколько лет займет накопление процентов на сумму. Таким образом для того, чтобы получить 8 рублей необходимо 3 года при условии начального взноса в 2 рубля и 100% отчислениях каждый год.
5. Теорема Байеса поднимает философские вопросы в отношении самой природы вероятности. В частности, появление в его теореме понятия априорной вероятности предполагает, что нельзя с уверенностью утверждать о какой-либо вероятности события, предварительно не изучив общую частотность возникновения этого события в прошлом.
6. Слово «алгоритм» происходит от имени «аль-Хорезми», арабского ученого, который разработал порядок решения определенных уравнений, понятный каждому. Многие математики развивали аналогичные идеи веками, но только в 1930 году Алану Тьюрингу и Алонзо Черчу удалось создать точное определение алгоритма. Тьюринг придумал устройство, которое работало с использованием бумажной ленты.
7. В тригонометрии на плоскости сумма углов любого треугольника равна 180 градусов. Сферическая тригонометрия, которая используется в астрономии, вызывала особый интерес у ученых древнего мира. На сфере сумма углов треугольника может быть больше 180 градусов. Например, в треугольнике, образуемом одной точкой на Полярной Звезде и двумя точками на экваторе, все три угла составляют более 180 градусов!
8. Квадратура круга — задача, заключающаяся в нахождении способа построения с помощью циркуля и линейки (без шкалы с делениями) квадрата, равновеликого по площади данному кругу. Является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки. Если принять за единицу измерения радиус круга и обозначить x длину стороны искомого квадрата, то задача сводится к решению уравнения: х = √п. Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из трансцендентности числа п , которая была доказана в 1882 году Линдеманом.
9. Важную роль в топологической науке играет т. н. «Эйлерова характеристика». Для ее представления рисуют некие точки и соединяют их в ребра. На сфере мы можем нарисовать две точки и два ребра, разделяющих ее поверхность на две полусферы. Связанная с этим фундаментальная теория топологии гласит, что с количеством точек V, ребер E и граней F равенство V-E+F=2 является верным для любой топологический сферы.
10. Многие объекты в природе проявляют свойства фракталов в ограниченном процессе увеличения. К ним относятся ветвистые структуры (деревья, речные сети, а также человеческая система кровообращения). Линия берега Великобритании являет собой пример фрактальной кривой. Фрактальные поверхности могут быть замечены в строении капусты брокколи, горных массивов и структуре облаков.

Рисунок 2 - Фракталы в природе
11. Узел в математике — вложение окружности (одномерной сферы) в трёхмерное евклидово пространство, рассматриваемое с точностью до изотопии. В 1984 состоялся прорыв: был сформулирован многочлен Джонса, способный назначить алгебраическое выражение для любого узла. Оно существует для каждого из узлов, и если два узла имеют различные решения многочлена Джонса, то они не могут быть одинаковыми.
12. Теорема о четырёх красках — теорема, которая утверждает, что всякую расположенную на плоскости или сфере карту можно раскрасить не более чем четырьмя разными цветами (красками) так, чтобы любые две области с общим участком границы были раскрашены в разные цвета. При этом области должны быть связными.

Рисунок 3 - Карта субъектов РФ
13. Программа Гильберта предлагала обнажить математику вплоть до самых ее основ и при изучении считать ее не более чем игрой. Так же, как в шахматах есть фигуры: пешки, ладьи и прочее, так и математика имеет в своем арсенале символы в качестве основных элементов: 0, 1, 1, 3, 5 и т. д. Упростив математику до игры с символами и оставив при этом их «значения» в стороне, Гилберт пытался определить фундаментальные правила этой игры. К несчастью, программа Гильберта так и не была воплощена в реальность. Теорема Гёделя о неполноте показала, что законченное множество правил никогда не может быть определено.