Шрифт
Source Sans Pro
Размер шрифта
18
Цвет фона
О счетности континуума – точек на отрезке
Как утверждается со ссылкой на методологию счета Кантора, множество всех действительных чисел несчетно, то есть, невозможно их пересчитать, присвоив каждому из них некоторое натуральное число – номер, поскольку всегда останутся непронумерованные числа [3, с.73-74]. Вообще-то, на первый взгляд, интуитивно это выглядит вполне очевидно. Рассмотрим, например, следующую явно бесконечную последовательность действительных чисел:
В этих числах запятая просто занимает позицию n, представляющую натуральное число, поэтому чисел в указанной последовательности в точности равно числу строк, n, где n равно бесконечности. Поскольку все номера натуральных чисел использованы для нумерации этих действительных чисел, то очевидно, что остальное множество действительных чисел осталось без номеров, то есть их множество – несчетно. В связи с хитростями нумерации, как правило, вспоминают математика Кантора, который, как считается, доказал, что число точек на отрезке прямой сосчитать никаким способом нельзя. Утверждается, что их нельзя перенумеровать с помощью бесконечного ряда натуральных чисел, приписывая каждой точке свой номер, в каком бы порядке мы ни выбирали эти точки. Всегда останется хотя бы одна точка, на которую не хватит номера!
Перенумеровать или, тождественно, пересчитать бесконечное количество чего-либо, в том числе, сосчитать точки отрезка, действительно, невозможно физически. Однако приводимое затем доказательство, как правило, начинается со слов: «Представим, что вопреки нашему утверждению кому-то удалось перенумеровать точки этого отрезка», после чего приводятся хитрые комбинации с нумерацией. Но здесь следует напомнить фундаментальный принцип классической логики и классической математики, который постулирует полное отрицание актуальной бесконечности: «Infinitum Actu Non Datur» (Аристотель) – «актуальная бесконечность не существует». Принцип утверждает потенциальный, т.е. принципиально незавершаемый характер бесконечности множества. Актуальная, то есть, пересчитанная бесконечность лишена смысла. Бесконечностью может считаться лишь потенциальная бесконечность, завершить счет членов которой невозможно. Поэтому приводимое доказательство на этих словах можно и прервать – оно некорректно с самого начала. Впрочем, в этом вопросе особое мнение, которое следует признать некорректным, приписывается Давиду Гильберту. По мнению немецкого математика, одного из величайших умов своего времени, главное различие между актуальной и потенциальной бесконечностью заключается в следующем. Потенциально бесконечное есть всегда нечто возрастающее и имеющее пределом бесконечность, тогда как актуальная бесконечность – это завершённое целое, в действительности содержащее бесконечное число предметов [5].
В литературе можно встретить описание довольно интересного способа подсчета количества точек на отрезке линии. Нетрудно догадаться, что в этом примере использованная методика счета ошибочна и ведет к ошибочному выводу. Несложное доказательство несчетности содержит не очень сильно скрытую подмену понятий. Итак:
"Теперь уже несложно доказать, что множество всех точек на прямой линии несчетно. Вместо этого множества можно говорить о множестве всех действительных чисел, так как каждой точке прямой соответствует действительное число и обратно. Каждое действительное число можно записать в виде бесконечной десятичной дроби вида α,α1α2α3…αn…" [3, с.73-74].
Как видим, ряд знаков имеет бесконечное счетное количество знаков и, резонно предположим, что так же считает и автор доказательства. Сразу же заметим, что утверждения следует признать абсурдными. Любое конечное число всегда меньше бесконечности.
"Предположим, что нам удалось каким-то образом перенумеровать все действительные числа. Чтобы доказать, что это предположение неверно, достаточно построить хоть одно незанумерованное число. … поступим следующим образом. Сначала напишем нуль и поставим после него запятую. Потом возьмем число, получившее первый номер, и посмотрим на его первый десятичный знак после запятой (то есть на число десятых)" [там же].
Для определенности отметим, что поиск незанумерованного числа производится, как можно заметить, на отдельном интервале всех действительных чисел [0, 1]. Сначала как на неточность в этом рассуждении, как и в предыдущем доказательстве, сразу же укажем на очевидное, но, похоже, незамеченное обстоятельство: на самом деле при последовательном, возрастающем счёте у второго числа вторая цифра тоже будет 0. И у третьего. И у четвертого. И у числа, занимающего бесконечно большую позицию. На словах это, возможно, не совсем ясно, поэтому покажем это на "виновнике торжества" – на оцифрованном отрезке:
Рис.1. Оцифрованный отрезок, отдельный интервал всех действительных чисел
На рисунке видно, что первая цифра после нуля будет отличной от нуля, единица будет только после точки 0,1 отрезка. На интервале от 0 до 0,1 содержится счетное (пока оспариваемое) количество точек. Во всяком случае, это не одна, не миллион и даже не гугл точек, равный 10100, а в бесконечное число раз больше. У всех этих чисел первой цифрой после запятой будет ноль. Следовательно, искомое число пока находится вблизи нулевой точки, в самом начале отрезка [0, 1].
"Если эта цифра отлична от 1, то в числе, которое мы пишем, поставим после запятой 1, а если эта цифра равна 1, то поставим после запятой 2" [3, с.73-74].
Еще раз отметим, что отличная от единицы цифра в первой позиции после нуля первого числа будет нулем. Следовательно, в "искомом" числе после запятой первой будет 2. То есть, число будет 0,2. Сразу же на рисунке находим, что эта точка на отрезке есть – это точка 0,2.
"Затем перейдем к числу, получившему второй номер, и посмотрим на его вторую цифру после запятой. Снова если эта цифра отлична от единицы, то в числе, которое мы пишем, поставим на месте сотых цифру 1, если же эта цифра является единицей, то поставим цифру 2" [там же].
Как и в предыдущем случае, вторым знаком опять будет ноль, поскольку точки расположены рядом и их номера различаются лишь в очень далекой позиции после нуля. Следовательно, и вторая цифра искомого числа будет 2. То есть, это будет число 0,22. По рисунку видно, что и эта точка на отрезке имеется. Она находится правее точки 0,2 и отстоит от неё примерно на 1/5 отрезка от 0,2 до 0,3.
"Точно так же будем действовать и дальше, каждый раз обращая внимание лишь на n-ю цифру числа, получившего n-й номер. В результате мы выпишем некоторое число, например, N=0,1121211. . . [там же].
Но мы уже можем заметить, что такое число не получается. А получится число 0,22222…, в котором цифра 1 появится очень и очень не скоро. И эта цифра, единица также будет тиражироваться многократно. В конечном счете, формируемое число примет вид:
Кстати, можно догадаться по алгоритму, что число будет в основном состоять из двоек, поскольку из 10 цифр единица, которую помечаем двойкой, только одна.
"Ясно, что это число не получило никакого номера: в первом десятичном знаке оно отличается от числа с номером 1, во втором – от числа с номером 2, . . ., в n-м – от числа с номером n и т. д." [3, с.73-74].
Верно это только отчасти, поскольку в целом неверно. Указанные совпадения, действительно, на первом участке отрезка отсутствуют. Однако это найденное число совпадает в первом знаке с бесконечным множеством чисел, соответствующих другой точке отрезка – [0.2, 0.3]. Первым и вторым знаками оно соответствует множеству чисел следующих точек этого отрезка. Первым, вторым и третьим – следующему множеству точек отрезка. И так далее – до бесконечности! Проще говоря, "найденное" число будет находиться правее числа 0,222 и бесконечно близко к нему, никогда не достигая числа 0,223.
"Чтобы читателю стало яснее, как выписывается число, не получившее номера, предположим, что при выбранной нумерации первые пять чисел имеют следующий вид:
4,27364…
–1,31226…
7,95471…
0,62419…
8,56280… " [там же].
Здесь очевидна небольшая неточность, поскольку автором, судя по всему, выбран интервал [0, 1], а на этом интервале таких чисел при выбранной нумерации не будет никогда. Однако эту неточность оставим без критики, просто заменив в них цифру перед запятой на ноль, поскольку пояснение вполне верно описывает принцип формирования искомого числа.
"Тогда число, не получившее номера, будет начинаться со следующих десятичных знаков: 0,12121 . . . Разумеется, не только это, но и многие другие числа не получили номеров (мы могли бы заменять все цифры, кроме 2, на 2, а цифру 2 на 7 или выбрать еще какое-нибудь правило). Но нам достаточно существования одного-единственного числа, не получившего номера, чтобы опровергнуть гипотезу о возможности нумерации всех действительных чисел" [3, с.73-74].
