Совершенная строгость. Григорий Перельман: гений и задача тысячелетия

В 1900 году Пуанкаре сделал предположение, что трёхмерное многообразие со всеми группами гомологий как у сферы гомеоморфно сфере. В 1904 году он же нашёл контр-пример, называемый теперь сферой Пуанкаре, и сформулировал окончательный вариант своей гипотезы. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.

Доказательства обобщённой гипотезы Пуанкаре для n = 5 получены в начале 1960—1970-х почти одновременно Смейлом, независимо и другими методами Столлингсом (для n = 7, его доказательство было распространено на случаи n = 5 и 6 Зееманом ). Доказательство значительно более трудного случая n = 4 было получено только в 1982 году Фридманом. Из теоремы Новикова о топологической инвариантности характеристических классов Понтрягина следует, что существуют гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные многообразия в высоких размерностях.

Доказательство исходной гипотезы Пуанкаре (и более общей гипотезы Тёрстона ) было найдено только в 2002 году Г. Я. Перельманом. Впоследствии доказательство Перельмана было проверено и представлено в развёрнутом виде как минимум тремя группами учёных. Доказательство использует поток Риччи с хирургией и во многом следует плану, намеченному Гамильтоном, который также первым применил поток Риччи.
---------------------------------------------------------------------------------------------
Книге Маши Гессен предшествовала написала нашумевшая статья Сильвии Назар "Manifold Destiny" о Григории Перельмане и его доказательстве гипотезы Пуанкаре. Эта статья удостоилась включения в сборник The Best American Science Writing 2007 года

В исходной форме гипотеза Пуанкаре утверждает, что:
Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере

Обобщённая гипотеза Пуанкаре утверждает, что:
Для любого натурального числа n всякое многообразие размерности n гомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей.
Гомеоморфизм (греч. ομοιο — похожий, μορφη — форма) в топологии — это взаимно-однозначное и непрерывное отображение, обратное к которому тоже непрерывно. Пространства, связанные гомеоморфизмом, топологически неразличимы.Классический пример гомеоморфизма: кружка и бублик. )))

Схема доказательства
Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть, вложенное ), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию. Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме. Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией».

При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии M и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие M можно представить как набор сферических пространственных форм S3 / Γi, соединённых друг с другом трубками . Подсчёт фундаментальной группы показывает, что M диффеоморфно связанной сумме набора пространственных форм S3 / Γi и более того все Γi тривиальны. Таким образом, M является связной суммой набора сфер, то есть, сферой.

Фридман (в 1986 году) и Перельман (в 2006 году) стали Филдсовскими лауреатами.
В 2006 году журнал Science назвал доказательство Перельманом гипотезы Пуанкаре научным «прорывом года» («Breakthrough of the Year»). Это первая работа по математике, заслужившая такое звание.
В 2006 году Сильвия Назар опубликовала нашумевшую статью «Manifold Destiny», которая рассказывает об истории доказательства гипотезы Пуанкаре.
18 марта 2010 года математический институт Клэя присудил Премию тысячелетия за доказательство гипотезы Пуанкаре Г. Я. Перельману[, который, однако, отказался её принять.