Родился в семье раввина. Самостоятельно изучил русский и другие европейские языки. В 1860-е гг. Богров написал на русском языке «Записки еврея», автобиографическое произведение, подробно рисующее быт русского еврейства середины 19 в. Эта книга вызвала одобрение Некрасова, опубликовавшего ее в журнале «Отечественные записки» (1871–73). «Записки»…
Богрова пользовались популярностью среди русских читателей и были переведены на немецкий язык. В повести «Пойманник» (1873), как и в первой книге, воссозданы картины еврейского быта. Богров с симпатией изображает евреев, но отрицательно относится к традиционному иудаизму. В 1876 г. вышел исторический роман Богрова «Еврейский манускрипт». Богров принимал деятельное участие в издании журналов «Русский еврей» и «Рассвет». Еврейские национальные проблемы решал в духе «эмансипированного космополитизма». В повести «Маниак» (1884) он выступает против палестинофильской идеи, а «Накипь века» (1881) — своего рода еврейский антинигилистический роман. Незадолго до смерти Богров принял христианство.
Внук Богрова, М. Богров, анархист, убийца П. Столыпина.
